Sonnenstandsberechnung

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Siehe auch: Sonnenstrahlungsberechnung

Normen, Richtlinien und Veröffentlichungen für die Berechnung des Sonnenstandes

Normen / Richtlinien:

• DIN 5034-2 [1985-02]
• VDI 6007-3 [2015-06]
• VDI 3789 [1994-10]
• DIN EN 17037 [2019-03]

Veröffentlichungen:

• Ashare fundamentals handbook (1985), chapter 27, fenestration
• Ashare Handbook 2007, Chapter 32
• Sonnenstandsberechnung PSA Algorithm (C++): http://www.psa.es/sdg/sunpos.htm
  Based on "Computing the Solar Vector" by Manuel Blanco-Muriel, Diego C. Alarcon-Padilla, Teodoro Lopez-Moratalla, and Martin Lara-Coira, in "Solar energy", vol 27, number 5, 2001 by Pergamon Press.
• pysolar
  I. Reda and A. Andreas, "Solar Position Algorithm for Solar Radiation Applications," National Renewable Energy Laboratory, NREL/TP-560-34302,revised Jan. 2008
  However, it seems that Reda and Andreas took the bulk of the constants (L0, etc.) from Pierre Bretagnon and Gerard Francou's Variations Seculaires des Orbites Planetaires, or VSOP87: wikipedia:de:Variations_séculaires_des_orbites_planétaires#VSOP87, Download: ftp://ftp.imcce.fr/pub/ephem/planets/vsop87/VSOP87D.ear
• wikipedia:de:Sonnenstand
• wikipedia:de:Zeitgleichung
• Vergleich von Berechnungsmethoden: https://userpage.fu-berlin.de/geoiss/ress/Bachelor/BSc-Thuerkow_Markus-2009.pdf
• NREL. (February 2000). SOLPOS Online Calculator http://midcdmz.nrel.gov/solpos/solpos.html
• LSMTool: the LOFAR Sky Model Tool https://github.com/darafferty/LSMTool siehe auch: http://www.astron.nl/citt/lsmtool/

Zeitermittlung

• Wahre Ortszeit: WOZ = MOZ + Zgl./60 [60=Minuten pro Stunde]
• In EN 17037 [2019-03] (D.1): [math]\displaystyle{ TST = LT + \frac{\lambda - \lambda_s}{15} + ET }[/math]
• Tag des Jahres als Winkel (Basis 365 Tage)

• J Julianisches Datum wikipedia:en:Julian_day und wikipedia:de:Julianisches Datum
• J2000 Standardäquinoktium (Julianisches Datum = 2451545,000) Berechnung des Julianischen Datums (Basis: 1.1.2000 12.00 Uhr TDT = 1. Januar 2000, 11:58:55,816 UTC)
• T = J2000 / 36525 (Julianisches Jahrhundert)
• Sternzeit θ (Stundenwinkel des Frühlingspunktes)

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathrm{GMST(0h \, UT)}\, & = \, 6^\mathrm{h} 41^\mathrm{m} 50{,}54841^\mathrm{s} + 8640184{,}812866^\mathrm{s} \cdot T + 0{,}093104^\mathrm{s} \cdot T^2 - 0{,}0000062^\mathrm{s} \cdot T^3 \\ & = \, 24110{,}54841^\mathrm{s} + 8640184{,}812866^\mathrm{s} \cdot T + 0{,}093104^\mathrm{s} \cdot T^2 - 0{,}0000062^\mathrm{s} \cdot T^3 \\ & = \, 100{,}46061837^\circ + 36000{,}770053608^\circ \cdot T + 0{,}000387933^\circ \cdot T^2 - (T^3 / 38710000)^\circ \end{align} }[/math]

• Stundenwinkel aus der Ermittlung über die Sternzeit: ω = θ₀ - α
• Stundenwinkel aus der Zeitgleichung: ω = (WOZ - 12) 15°/h
• Stundenwinkel EN 17037 [2019-03] (D.4): [math]\displaystyle{ \omega_\eta = (12,00 h - TST) * 15 }[/math]

ekliptikales Koordinatensystem

Bezugskoordinaten liegen auf der Ekliptik

• λ - Ekliptikale Länge
• β - Ekliptikale Breite

rotierendes Äuquatoriales Koordinatensystem

Bezugssystem: Erdmittelpunkt, Horizontalebene ist der Himmelsäquator

Schiefe der Ekliptik ε

• ε - Schiefe der Ekliptik ca. 23°

WEW-2: [math]\displaystyle{ \epsilon = 23,4393^\circ-3,567e-7 \cdot J2000.0 }[/math]

• α - Rektazension - Horizontalwinkel der Sonne zum Frühlingspunkt
• ZGL = Zeitgleichung ist die Abweichung zur mittleren Rektazension auf der Äquatorebene

Zeitgleichung Zgl oder EOT

Zeitgleichung WEW-2:

[math]\displaystyle{ ZGL = 1440 - (\overline{\lambda} + \varpi - \alpha)\cdot 4 \ min/^\circ }[/math] -->(1440/360=4)

Zeitgleichung VDI6007-3 + EN 17037:

[math]\displaystyle{ J' = 360 * J/365 }[/math] J = Kalendertag des Jahres [1..365] 1.1.=1 | 31.12.=365 | Februar mit 28 Tagen

[math]\displaystyle{ Zgl = 0,0066 + 7,3525 \cdot \cos(J' + 85,9^\circ) + 9,9359 \cdot \cos(2 \cdot J' + 108,9^\circ) + 0,3387 \cdot cos(3 \cdot J' + 105,2^\circ) }[/math] in Minuten

Zeitgleichung VDI 3789-2, Anhang C:

[math]\displaystyle{ x = 0,9856^\circ \cdot J -2,72^\circ }[/math] mit J als Tag des Jahres [1..365/366]

[math]\displaystyle{ Z = -7,66 \cdot \sin(x) - 9,87 \cdot \sin(2 \cdot x + 24,99^\circ + 3,83^\circ \cdot \sin(x)) }[/math]

Zeitgleichung (EOT) Ashare (Winkel in Grad):

[math]\displaystyle{ M = \frac{360}{365} \cdot (n - 81) }[/math] mit n Tag des Jahres

[math]\displaystyle{ EOT = 9,87 \cdot \sin(2 \cdot M) - 7,53 \cdot \cos(M) - 1,5 \cdot \sin(M) }[/math]

Deklination δ

• δ - Deklination - Höhenwinkel der Sonne in Bezug zum Himmelsäquator

VDI 3789-2:

[math]\displaystyle{ x = 0,9856^\circ \cdot J -2,72^\circ }[/math] mit J als Tag des Jahres [1..365/366]

[math]\displaystyle{ \delta = asin[0,3978 \cdot \sin(x - 77,51^\circ + 1,92^\circ \cdot \sin(x))] }[/math]

VDI 6007-3 [2015-06] und DIN 5034 [1985-02] und EN 17037 [2019-03]

[math]\displaystyle{ J' = 360 * J/365 }[/math] J = Kalendertag des Jahres [1..365]

[math]\displaystyle{ \delta = 0,3948 - 23,2559 \cdot \cos(J' + 9,1^\circ) - 0,3915 \cdot \cos(2 \cdot J' + 5,4^\circ) - 0,1764 \cdot cos(3 \cdot J' + 26,0^\circ) }[/math]

Ashare:

Tag des Jahres: [math]\displaystyle{ x = \frac{360^\circ}{365} (DOY-81) }[/math]

Deklination (Winkel in Grad): [math]\displaystyle{ \delta = 23,45 \cdot \sin x }[/math]

• τ - Stundenwinkel - Winkel zwischen Süden im Horizontalsystem und der Sonne im Äquatorialsystem τ = θ - α
• λ - Länge der Ekliptik

Umrechnung Koordinaten

Umrechnung ekliptikale Koordinaten -> rotierende äquatoriale Koordinaten:

[math]\displaystyle{ \delta = \arcsin \left( \cos \epsilon \cdot \sin \beta + \sin \epsilon \cdot \cos \beta \cdot \sin \lambda \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha = \arctan \left( \frac {\cos \epsilon \cdot \sin \lambda - \sin \epsilon \cdot \tan \beta} {\cos \lambda} \right) }[/math]

Rektazension einfach:

[math]\displaystyle{ \alpha = \arctan \left( \tan \lambda \cdot \cos \epsilon \right) }[/math] --> [math]\displaystyle{ \tan(\lambda) = \frac{\sin(\lambda)}{\cos \lambda} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha = \arctan2 \left(\cos \epsilon \cdot \sin \lambda,\cos \lambda\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \delta = \arcsin \left(\sin \epsilon \cdot \sin \lambda \right) }[/math]

Horizontalsystem (topozentrisch)

Bezugssystem: ist der Ort des Betrachters. Der Zenit liegt genau über dem Betrachter, der Nadir direkt unter dem Betrachter.

• θ - Sternzeit am Ort des Betrachters
• φ - Geografische Breite des Betrachters (latitude)
• λ - Geografische Länge des Betrachters (longitude)
• a - Horizontalwinkel (azimuth)
• h - Höhenwinkel (altitude)

Umrechnung der Koordinaten aus dem rotierenden äquatorialen Koordinatensystem:

[math]\displaystyle{ h = \arcsin \left( \sin \phi \cdot \sin \delta + \cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos (\theta - \alpha) \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ a = \arctan \frac {\sin (\theta - \alpha)} {\sin \phi \cdot \cos (\theta - \alpha) - \cos \phi \cdot \tan \delta} }[/math]

(hier gilt die Bestimmung des Quadranten gemäß Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten)

Umrechnung der Koordinaten aus dem ruhenden äquatorialen Koordinatensystem:

[math]\displaystyle{ h = \arcsin \left( \sin \phi \cdot \sin \delta + \cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos \tau \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ a = \arctan \left( \frac {\sin \tau} {\sin \phi \cdot \cos \tau - \cos \phi \cdot \tan \delta} \right) }[/math]

(hier gilt die Bestimmung des Quadranten gemäß Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten)

Umrechnung nach VDI 3789:

Höhenwinkel [math]\displaystyle{ \sin h = \sin \phi \cdot \sin \delta + \cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos \omega }[/math]

Horizontalwinkel [math]\displaystyle{ \cos a = \frac{\sin \phi \cdot \sin h - \sin \delta}{\cos \phi \cdot \cos h} }[/math]

Winkel zum Zenith Ashare [math]\displaystyle{ \cos z = \cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos \omega + \sin \phi \cdot \sin \delta }[/math]

Horizontalwinkel Thürkow [math]\displaystyle{ \sin \lambda_S = \frac{\cos \delta \cdot \sin \phi \cdot \cos \omega - \sin \delta \cdot \cos \phi}{sin h} }[/math]

Horizontalwinkel Thürkow umgeformt: [math]\displaystyle{ \lambda_S = atan2(\sin \omega \cdot \cos \delta, \cos \omega \cdot \cos \delta \cdot \sin \phi - \sin \delta \cdot \cos \phi) }[/math]

Koordinaten EN 17037 [2019-03]:

Sonnenhöhe (D.5) [math]\displaystyle{ \gamma_s = arcsin( \cos \omega_h \cdot \cos \varphi \cdot \cos \delta + \sin \varphi \cdot \sin \delta) }[/math]

Sonnenazimut (D.6) [math]\displaystyle{ \alpha_s = 180° - \arccos(\frac{\sin \gamma_s \cdot \sin \varphi - \sin \delta}{\cos \gamma_s \cdot \cos \varphi}) }[/math] für TST ≤ 12,00 h

D.7 [math]\displaystyle{ \alpha_s = 180° + \arccos(\frac{\sin \gamma_s \cdot \sin \varphi - \sin \delta}{\cos \gamma_s \cdot \cos \varphi}) }[/math] für TST > 12,00 h

Richtungen: Norden [math]\displaystyle{ \alpha_s = 0° }[/math] | Osten [math]\displaystyle{ \alpha_s = 90° }[/math] | Süden [math]\displaystyle{ \alpha_s = 180° }[/math] | Westen [math]\displaystyle{ \alpha_s = 270° }[/math]

Objekt/ Fläche

• α_F Schiefe der Fläche (inclination) - meist: 0° horizontale Fläche von oben bestrahlt (Dach) | 90° senkrechte Fläche (Wand) | 135° Überhang 45° nach unten geneigt
• γ_F Richtung der Fläche (azimuth / orientation)

spärischer Winkel zwischen Flächennormale und Sonnenstrahlung [math]\displaystyle{ \cos \xi= \sin \gamma_S \cdot \cos \gamma_F \cdot + \cos \gamma_S \cdot \sin \gamma_F \cdot \cos(abs (\alpha_F - \alpha_S )) }[/math]