Sonnenstandsberechnung

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Normen, Richtlinien und Veröffentlichungen für die Berechnung des Sonnenstandes

Normen / Richtlinien:

  • DIN 5034-2 [1985-02]
  • VDI 6007-3 [2015-06]
  • VDI 3789 [1994-10]
  • DIN EN 17037 [2019-03]

Veröffentlichungen:

Zeitermittlung

  • Wahre Ortszeit: WOZ = MOZ + Zgl./60 [60=Minuten pro Stunde]
  • In EN 17037 [2019-03] (D.1): [math]\displaystyle{ TST = LT + \frac{\lambda - \lambda_s}{15} + ET }[/math]
  • Tag des Jahres als Winkel (Basis 365 Tage)
  • J Julianisches Datum wikipedia:en:Julian_day und wikipedia:de:Julianisches Datum
  • J2000 Standardäquinoktium (Julianisches Datum = 2451545,000) Berechnung des Julianischen Datums (Basis: 1.1.2000 12.00 Uhr TDT = 1. Januar 2000, 11:58:55,816 UTC)
  • T = J2000 / 36525 (Julianisches Jahrhundert)
  • Sternzeit θ (Stundenwinkel des Frühlingspunktes)
[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathrm{GMST(0h \, UT)}\, & = \, 6^\mathrm{h} 41^\mathrm{m} 50{,}54841^\mathrm{s} + 8640184{,}812866^\mathrm{s} \cdot T + 0{,}093104^\mathrm{s} \cdot T^2 - 0{,}0000062^\mathrm{s} \cdot T^3 \\ & = \, 24110{,}54841^\mathrm{s} + 8640184{,}812866^\mathrm{s} \cdot T + 0{,}093104^\mathrm{s} \cdot T^2 - 0{,}0000062^\mathrm{s} \cdot T^3 \\ & = \, 100{,}46061837^\circ + 36000{,}770053608^\circ \cdot T + 0{,}000387933^\circ \cdot T^2 - (T^3 / 38710000)^\circ \end{align} }[/math]
  • Stundenwinkel aus der Ermittlung über die Sternzeit: ω = θ0 - α
  • Stundenwinkel aus der Zeitgleichung: ω = (WOZ - 12) 15°/h
  • Stundenwinkel EN 17037 [2019-03] (D.4): [math]\displaystyle{ \omega_\eta = (12,00 h - TST) * 15 }[/math]

ekliptikales Koordinatensystem

Bezugskoordinaten liegen auf der Ekliptik

  • λ - Ekliptikale Länge
  • β - Ekliptikale Breite


rotierendes Äuquatoriales Koordinatensystem

Bezugssystem: Erdmittelpunkt, Horizontalebene ist der Himmelsäquator

Schiefe der Ekliptik ε

  • ε - Schiefe der Ekliptik ca. 23°
WEW-2: [math]\displaystyle{ \epsilon = 23,4393^\circ-3,567e-7 \cdot J2000.0 }[/math]
  • α - Rektazension - Horizontalwinkel der Sonne zum Frühlingspunkt
  • ZGL = Zeitgleichung ist die Abweichung zur mittleren Rektazension auf der Äquatorebene

Zeitgleichung Zgl oder EOT

Zeitgleichung WEW-2:

[math]\displaystyle{ ZGL = 1440 - (\overline{\lambda} + \varpi - \alpha)\cdot 4 \ min/^\circ }[/math] -->(1440/360=4)

Zeitgleichung VDI6007-3 + EN 17037:

[math]\displaystyle{ J' = 360 * J/365 }[/math] J = Kalendertag des Jahres [1..365] 1.1.=1 | 31.12.=365 | Februar mit 28 Tagen
[math]\displaystyle{ Zgl = 0,0066 + 7,3525 \cdot \cos(J' + 85,9^\circ) + 9,9359 \cdot \cos(2 \cdot J' + 108,9^\circ) + 0,3387 \cdot cos(3 \cdot J' + 105,2^\circ) }[/math] in Minuten

Zeitgleichung VDI 3789-2, Anhang C:

[math]\displaystyle{ x = 0,9856^\circ \cdot J -2,72^\circ }[/math] mit J als Tag des Jahres [1..365/366]
[math]\displaystyle{ Z = -7,66 \cdot \sin(x) - 9,87 \cdot \sin(2 \cdot x + 24,99^\circ + 3,83^\circ \cdot \sin(x)) }[/math]

Zeitgleichung (EOT) Ashare (Winkel in Grad):

[math]\displaystyle{ M = \frac{360}{365} \cdot (n - 81) }[/math] mit n Tag des Jahres
[math]\displaystyle{ EOT = 9,87 \cdot \sin(2 \cdot M) - 7,53 \cdot \cos(M) - 1,5 \cdot \sin(M) }[/math]

Deklination δ

  • δ - Deklination - Höhenwinkel der Sonne in Bezug zum Himmelsäquator

VDI 3789-2:

[math]\displaystyle{ x = 0,9856^\circ \cdot J -2,72^\circ }[/math] mit J als Tag des Jahres [1..365/366]
[math]\displaystyle{ \delta = asin[0,3978 \cdot \sin(x - 77,51^\circ + 1,92^\circ \cdot \sin(x))] }[/math]

VDI 6007-3 [2015-06] und DIN 5034 [1985-02] und EN 17037 [2019-03]

[math]\displaystyle{ J' = 360 * J/365 }[/math] J = Kalendertag des Jahres [1..365]
[math]\displaystyle{ \delta = 0,3948 - 23,2559 \cdot \cos(J' + 9,1^\circ) - 0,3915 \cdot \cos(2 \cdot J' + 5,4^\circ) - 0,1764 \cdot cos(3 \cdot J' + 26,0^\circ) }[/math]

Ashare:

Tag des Jahres: [math]\displaystyle{ x = \frac{360^\circ}{365} (DOY-81) }[/math]
Deklination (Winkel in Grad): [math]\displaystyle{ \delta = 23,45 \cdot \sin x }[/math]
  • τ - Stundenwinkel - Winkel zwischen Süden im Horizontalsystem und der Sonne im Äquatorialsystem τ = θ - α
  • λ - Länge der Ekliptik

Umrechnung Koordinaten

Umrechnung ekliptikale Koordinaten -> rotierende äquatoriale Koordinaten:

[math]\displaystyle{ \delta = \arcsin \left( \cos \epsilon \cdot \sin \beta + \sin \epsilon \cdot \cos \beta \cdot \sin \lambda \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \alpha = \arctan \left( \frac {\cos \epsilon \cdot \sin \lambda - \sin \epsilon \cdot \tan \beta} {\cos \lambda} \right) }[/math]

Rektazension einfach:

[math]\displaystyle{ \alpha = \arctan \left( \tan \lambda \cdot \cos \epsilon \right) }[/math] --> [math]\displaystyle{ \tan(\lambda) = \frac{\sin(\lambda)}{\cos \lambda} }[/math]
[math]\displaystyle{ \alpha = \arctan2 \left(\cos \epsilon \cdot \sin \lambda,\cos \lambda\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \delta = \arcsin \left(\sin \epsilon \cdot \sin \lambda \right) }[/math]

Horizontalsystem (topozentrisch)

Bezugssystem: ist der Ort des Betrachters. Der Zenit liegt genau über dem Betrachter, der Nadir direkt unter dem Betrachter.

  • θ - Sternzeit am Ort des Betrachters
  • φ - Geografische Breite des Betrachters (latitude)
  • λ - Geografische Länge des Betrachters (longitude)
  • a - Horizontalwinkel (azimuth)
  • h - Höhenwinkel (altitude)

Umrechnung der Koordinaten aus dem rotierenden äquatorialen Koordinatensystem:

[math]\displaystyle{ h = \arcsin \left( \sin \phi \cdot \sin \delta + \cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos (\theta - \alpha) \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ a = \arctan \frac {\sin (\theta - \alpha)} {\sin \phi \cdot \cos (\theta - \alpha) - \cos \phi \cdot \tan \delta} }[/math]
(hier gilt die Bestimmung des Quadranten gemäß Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten)

Umrechnung der Koordinaten aus dem ruhenden äquatorialen Koordinatensystem:

[math]\displaystyle{ h = \arcsin \left( \sin \phi \cdot \sin \delta + \cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos \tau \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ a = \arctan \left( \frac {\sin \tau} {\sin \phi \cdot \cos \tau - \cos \phi \cdot \tan \delta} \right) }[/math]
(hier gilt die Bestimmung des Quadranten gemäß Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten)


Umrechnung nach VDI 3789:

Höhenwinkel [math]\displaystyle{ \sin h = \sin \phi \cdot \sin \delta + \cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos \omega }[/math]
Horizontalwinkel [math]\displaystyle{ \cos a = \frac{\sin \phi \cdot \sin h - \sin \delta}{\cos \phi \cdot \cos h} }[/math]
Winkel zum Zenith Ashare [math]\displaystyle{ \cos z = \cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos \omega + \sin \phi \cdot \sin \delta }[/math]
Horizontalwinkel Thürkow [math]\displaystyle{ \sin \lambda_S = \frac{\cos \delta \cdot \sin \phi \cdot \cos \omega - \sin \delta \cdot \cos \phi}{sin h} }[/math]
Horizontalwinkel Thürkow umgeformt: [math]\displaystyle{ \lambda_S = atan2(\sin \omega \cdot \cos \delta, \cos \omega \cdot \cos \delta \cdot \sin \phi - \sin \delta \cdot \cos \phi) }[/math]

Objekt/ Fläche

  • αF Schiefe der Fläche (inclination) - meist: 0° horizontale Fläche von oben bestrahlt (Dach) | 90° senkrechte Fläche (Wand) | 135° Überhang 45° nach unten geneigt
  • γF Richtung der Fläche (azimuth / orientation)
spärischer Winkel zwischen Flächennormale und Sonnenstrahlung [math]\displaystyle{ \cos \xi= \sin \gamma_S \cdot \cos \gamma_F \cdot + \cos \gamma_S \cdot \sin \gamma_F \cdot \cos(abs (\alpha_F - \alpha_S )) }[/math]
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